Untersuche an Tiermerkmalen, wie eine Trennlinie zur Entscheidung des Perzeptrons wird.
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Vom Tier zur Entscheidung
1 Vom Tier zur Entscheidung
Arbeitsauftrag:Klicke auf Weiter und ordne zuerst den Hasen, dann den Fuchs Schritt für Schritt ein.
Eine solche Grenzlinie heißt Trenngerade. Die hier gezeichnete Gerade −3x₁ + 4x₂ = 1 trennt die vier Trainingspunkte korrekt.
Hilfe 1: Achsen ablesen
Die Zahnlänge steht auf der x-Achse, die Augengröße auf der y-Achse.
Hilfe 2: Punkt prüfen
Trage den Hasen bei x₁ = 2 und x₂ = 4 ein und vergleiche seine Lage mit der Grenzlinie.
Hilfe 3: Einordnung
Der Hase liegt oberhalb der Grenzlinie im Bereich „ungefährlich“.
2 Grenze oder Bereich?
Klicke zuerst auf „Geradengleichung“ und dann auf „Ungleichung“. Vergleiche T1, T2 und U2: Welche Punkte liegen auf der Linie, welche auf der Seite mit Ausgabe 1?
Wähle einen Punkt und vergleiche Summe, Schwellenwert und Ausgabe.
Kreuze bei jeder Frage alle richtigen Aussagen an.
Hilfe 1
Wähle T2 und vergleiche seine Summe mit der Schwelle 1.
Hilfe 2
Eine Gleichung beschreibt die Linie; die Ungleichung wählt eine Seite aus.
Hilfe 3
T1 ergibt −2, T2 ergibt genau 1 und U2 ergibt 2. Nur bei einem Wert größer als 1 entsteht Ausgabe 1.
Eine Gleichung beschreibt die Trennlinie. Eine strenge Ungleichung beschreibt eine offene Halbebene. Bei −3x₁ + 4x₂ > 1 ist die Seite mit Ausgabe 1 ungefährlich; auf der Linie bleibt die Ausgabe 0.
3 Ungleichung verbessern und testen
3 · Ungleichung verbessern
Verbessere die vorgegebene Ungleichung, bis U1 und U2 die Ausgabe 1 sowie G1 und G2 die Ausgabe 0 erhalten. Stelle deinen Entwurf dar und prüfe alle vier Tiere.
Die Trennlinie darf anders liegen als in Reiter 2. Entscheidend sind alle vier Sollklassen.
Erlaubt sind x, y oder x1, x2, Zahlen mit Punkt oder Komma, +, −, *, Klammern und ein Vergleichszeichen. Beispiel für die Schreibweise: x + y > 1.
Hilfe 1
Prüfe U2 (2|2); dieser Punkt muss auf der Seite mit Ausgabe 1 liegen.
Hilfe 2
Im Startentwurf ist 2 > 2,25 falsch. Verändere die Gerade, ohne G1 und G2 auf die feuernde Seite zu holen.
Hilfe 3
Eine mögliche Verbesserung ist y > 0,5x + 0,5. Prüfe damit alle vier Punkte.
Soll-Klassen: U1 (0|4) und U2 (2|2): grüner Kreis · Ausgabe 1. G1 (4|1) und G2 (6|2): rote Raute · Ausgabe 0. Zeichnung: transparente Fläche = Ausgabe 1; gestrichelte Grenze = Ausgabe 0.
Die Grafik wird geladen.
4 Von der Trennlinie zum Neuron
Bestimme aus der gezeichneten Trennlinie die Neuronen-Ungleichung. Leite daraus Gewichte und Schwellenwert ab und prüfe die vier Trainingstiere.
Von der Geraden zur Rechnung des Perzeptrons
Die Geradenungleichung zeigt, auf welcher Seite ein Punkt liegt. Das Perzeptron trifft dieselbe Entscheidung, indem es seine Eingaben mit Gewichten multipliziert, die Beiträge addiert und mit einem Schwellenwert vergleicht.
Neuronen-Ungleichung: x1 · w1 + x2 · w2 > s
x1 und x2 sind die Eingaben, w1 und w2 ihre Gewichte und s der Schwellenwert. Ist die Ungleichung erfüllt, ist die Ausgabe 1; sonst ist sie 0.
Durch das Umformen lassen sich Gewichte und Schwellenwert direkt ablesen. So wird aus der gezeichneten Trennung eine Rechnung, die das Perzeptron für jede neue Eingabe ausführen kann.
Schritt für Schritt zur Neuronen-Ungleichung
Für die Seite oberhalb einer Geraden mit Steigung m und Achsenabschnitt b gilt:
Bestimme die Gleichung der gezeichneten Trennlinie.
Erlaubt sind x, y oder x1, x2, Zahlen mit Punkt oder Komma, Brüche wie 1/2, +, −, *, Klammern und ein Gleichheitszeichen. Beispiel für die Schreibweise: y = x + 1.
Hilfe 1
Suche zwei gut ablesbare Punkte auf der Geraden.
Hilfe 2
Lies den Achsenabschnitt bei x=0 ab und nutze einen zweiten Geradenpunkt für die Steigung.
Hilfe 3
Die Gerade geht durch (0|0,5) und (2|1,5); pro 2 Einheiten nach rechts steigt sie um 1.
4.2 Neuronen-Ungleichung
Beschreibe zuerst die Seite mit Ausgabe 1 als Geradenungleichung. Forme sie anschließend in die Neuronen-Ungleichung um.
Brüche wie 1/2 statt 0,5 sind erlaubt, z. B. als 1/2*x1 oder (1/2)x1. Gleichwertige Umformungen und vertauschte Seiten mit passendem Vergleichszeichen sind ebenfalls erlaubt.
Hilfe 1
Prüfe, auf welcher Seite U2 und G1 liegen.
Hilfe 2
Bei x=2 liegt die Gerade bei y=1,5; U2 liegt darüber.
Hilfe 3
Die Tiere mit Ausgabe 1 liegen oberhalb; nutze ein strenges >.
Schritt 2: Zur Neuronenform umformen
Ersetze x und y durch x₁ und x₂ und forme die Bedingung zur Neuronform um.
Hilfe 1
Im Diagramm ist x der Eingang x₁, y der Eingang x₂.
Hilfe 2
Bringe die Terme mit beiden Eingängen auf eine Seite.
Hilfe 3
Aus x₂ > 0,5x₁ + 0,5 folgt nach Multiplikation mit 2: -x₁ + 2x₂ > 1.
4.3 Gewichte und Schwellenwert
Lies passende Werte für w₁, w₂ und s ab.
Hilfe 1
Vergleiche deine Eingangs-Ungleichung mit w₁·x₁+w₂·x₂>s.
Hilfe 2
Die Zahlen vor x₁ und x₂ sind die Gewichte, die rechte Seite ist s.
Hilfe 3
Zur Form -x₁ + 2x₂ > 1 gehören w₁=-1, w₂=2 und s=1.
4.4 Kontrolle an vier Punkten
Berechne die Ausgabe für U1, U2, G1 und G2.
Tier
x₁
x₂
Ausgabe
Hilfe 1
Setze die Koordinaten jedes Punkts als x₁ und x₂ ein.
Hilfe 2
Berechne a und vergleiche streng mit s.
Hilfe 3
Bei U2 ist a=2>1; bei G1 ist a=-2<1.
4.E Expertenaufgabe (freiwillig)
Vertausche außerhalb der Trennlinie die feuernde und die nicht feuernde Seite. Formuliere die neue strenge Ungleichung; gleichwertige Umformungen und vertauschte Seiten sind erlaubt.
Hilfe 1
Schreibe zuerst die Bedingung für die andere Seite mit <.
Hilfe 2
Beim Multiplizieren einer Ungleichung mit −1 kehrt sich das Zeichen um.
Hilfe 3
Aus -x₁+2x₂<1 wird x₁-2x₂>-1; prüfe zusätzlich einen Grenzpunkt.