Ein Perzeptron multipliziert Eingaben mit Gewichten, addiert die Ergebnisse und vergleicht die Summe mit einem Schwellenwert.
Künstliche Intelligenz · Klassifikation
Das Perzeptron genauer betrachtet
Aufgabe 5.2
Im ersten Modul hast du Tiere anhand einer Trennlinie eingeordnet. Jetzt verfolgst du die Rechnung des Perzeptrons und untersuchst, wie es seine Zahlen nach Fehlern ändert.
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So rechnet das Perzeptron
1 So rechnet das Perzeptron
Arbeitsauftrag: Klicke auf Weiter und verfolge den Signalweg vom Eingang bis zur Ausgabe. Achte darauf, welche Zahl weitergegeben oder neu berechnet wird.
Eingaben
x₁ = 2
Zahnlänge
x₂ = 4
Augengröße
Gewichte
w₁ = −1
w₂ = 2
Produkte
(−1) · 2 = −2
2 · 4 = 8
Σ
a = −2 + 8
= 6
θ = 3
6 > 3
Treppenfunktion
f(a) = 1 bei
a > θ, sonst 0
Ausgabe
1
ungefährlich
Trennungshinweis: Das Zahlenbeispiel verwendet andere Gewichte als die Trenngerade in Aufgabe 5.1. Es zeigt denselben Rechenweg, aber nicht dieselbe gelernte Gerade.
Vertiefung: mehrere Eingaben
Für n Eingaben gilt: a = w₁x₁ + w₂x₂ + … + wₙxₙ = Σ wᵢxᵢ.
Hilfe 1: Informationsweg
Folge den Pfeilen von links nach rechts. Beginne bei x₁ = 2 und x₂ = 4.
Hilfe 2: Produkte
Berechne zuerst die Produkte an den beiden Verbindungen und addiere sie danach.
Hilfe 3: Ergebnis
Die Produkte sind −2 und 8; daraus folgt a = 6, und 6 > 3 liefert die Ausgabe 1.
Selbst rechnen
2 Selbst rechnen
Arbeitsauftrag: Ein Hai hat die Merkmalswerte x1 = 4 und x2 = 1. Berechne mit w1 = −1, w2 = 2 und θ = 3 die Klasse des Hais – Schritt für Schritt von 1 bis 6.
a = w1 · x1 + w2 · x2; f(a) = 1 bei a > θ, sonst 0
Hilfe 1: getrennt rechnen
Berechne die beiden Produkte getrennt. Achte beim ersten Gewicht auf das Minuszeichen.
Hilfe 2: vergleichen
Addiere −1 · 4 und 2 · 1. Vergleiche anschließend mit 3.
Hilfe 3: Teilergebnis
Die Beiträge sind −4 und 2. Damit ist a = −2.
3 Fehlendes Feuer
Für die nächsten drei Reiter nutzen wir einfache 0/1-Eingaben statt Zahnlänge und Augengröße. So siehst du den Einfluss von Gewichten und Schwelle direkt; Ausgabe 1 heißt hier nur „feuert“.
s und θ sind zwei Schreibweisen für denselben Schwellenwert. Ausgabe 1 entsteht nur, wenn die gewichtete Summe größer als dieser Wert ist; bei Gleichheit bleibt die Ausgabe 0.
Verändere Gewichte und Schwellenwert so, dass das Perzeptron bei allen vier Eingaben die gewünschte Ausgabe liefert. Prüfe deine Einstellung.
So berechnest du die Ausgabe:
1. Gewichten: Multipliziere die Eingaben x₁ und x₂ mit ihren Gewichten: w₁·x₁ und w₂·x₂.
2. Addieren: Bilde die gewichtete Summe a = w₁·x₁ + w₂·x₂.
3. Vergleichen: Ist a > s, feuert das Perzeptron und die Ausgabe ist 1. Sonst ist die Ausgabe 0 – auch bei a = s.
Mit „Einsetzen“ wechseln die Eingaben x₁ und x₂ im Perzeptron zur gewählten Zeile.
| Eingaben einsetzen | x₁ | x₂ | gewichtete Summe a | Soll-Ausgabe | berechnete Ausgabe |
|---|
Hilfe 1
Sieh auf die Zeilen, in denen Ausgabe 1 erwartet wird, das Perzeptron aber noch 0 liefert.
Hilfe 2
Ein größerer Beitrag eines positiven aktiven Eingangs kann die Summe erhöhen. Eine kleinere Schwelle kann das Feuern ebenfalls ermöglichen.
Hilfe 3
Bei (1;0) wirkt nur w₁. Wähle w₁ größer als s und prüfe anschließend besonders (0;0) und (0;1).
4 Unerwünschtes Feuer
Verändere die Einstellung so, dass das Perzeptron bei den ersten beiden Eingaben nicht feuert und bei den letzten beiden feuert. Prüfe anschließend alle Zeilen.
Mit „Einsetzen“ wechseln die Eingaben x₁ und x₂ im Perzeptron zur gewählten Zeile.
| Eingaben einsetzen | x₁ | x₂ | gewichtete Summe a | Soll-Ausgabe | berechnete Ausgabe |
|---|
Hilfe 1
Untersuche zuerst, warum das Perzeptron schon bei (0;0) feuert.
Hilfe 2
Bei (0;0) tragen die Gewichte nichts zur Summe bei. Nur der Vergleich von 0 mit s entscheidet.
Hilfe 3
Wähle s so, dass 0 nicht größer als s ist. Prüfe danach, ob bei (1;0) trotzdem Ausgabe 1 entsteht; passe bei Bedarf w₁ an.
5 Wann feuert es?
Bestimme die vier Ausgaben des Neurons. Untersuche danach, für welche Werte von x₂ es bei x₁ = 0,25 feuert.
Mit „Einsetzen“ wechseln die Eingaben x₁ und x₂ im Perzeptron zur gewählten Zeile.
| Eingaben einsetzen | Punkt | x₁ | x₂ | Ausgabe 0/1 |
|---|
| Eingaben einsetzen | x₁ | x₂ | Ausgabe 0/1 |
|---|
Hilfe 1
Berechne für jede Zeile zuerst a.
Hilfe 2
Vergleiche a mit 3; Gleichheit reicht nicht zum Feuern.
Hilfe 3
Bei x₁ = 0,25 ist der Beitrag von w₁·x₁ gleich 1. Vergleiche 1+2·x₂ mit 3.
Formuliere eine Ungleichung für alle Eingaben, bei denen das Perzeptron feuert.
Erlaubt sind x1, x2 (auch x₁, x₂), Dezimalzahlen und Brüche wie 1/2, z. B. als 1/2*x1 oder (1/2)x1. Gleichwertige Umformungen und vertauschte Seiten mit passendem Vergleichszeichen sind ebenfalls erlaubt.
Erlaubt sind x, y oder x1, x2, Zahlen mit Punkt oder Komma, +, −, *, Klammern und ein Vergleichszeichen. Beispiel für die Schreibweise: x + y > 1.
Hilfe 1
Schreibe die Bedingung für Ausgabe 1 mit a und s auf.
Hilfe 2
Ersetze a durch die beiden gewichteten Eingänge.
Hilfe 3
Setze w₁=4, w₂=2 und s=3 in die allgemeine Bedingung ein.
Lernen
6 Delta-Lernregel
Berechne für jedes Trainingstier Summe, Ausgabe und Fehler δ. Wende danach die Delta-Lernregel auf Gewichte und Schwelle an und erkläre kurz, was beim Training gespeichert wird.
Ist die Ausgabe richtig, bleiben die Zahlen gleich. Ist sie falsch, entscheidet δ = t − f(a) über Richtung und Größe der Änderung.
δ = t − f(a)
δ beschreibt die Abweichung zwischen Zielwert und Ausgabe.
wi neu = wi alt + δ · α · xi
θ neu = θ alt − δ · α
Start: w1 = 1, w2 = 1, θ = 1, α = 1. Bearbeite die Daten in der vorgegebenen Reihenfolge.
Hilfe 1: a berechnen
Nutze für jede Zeile die Parameter vom Ende der vorherigen Zeile.
Hilfe 2: δ bestimmen
Berechne erst a und f(a), dann δ = t − f(a).
Hilfe 3: Regel einsetzen
Bei δ=0 bleibt alles gleich. Bei α=1 ist die Änderung eines Gewichts δ mal der jeweilige Eingangswert.
Kurz erklären
Erkläre, was das Perzeptron beim Training verändert und wo das Gelernte gespeichert ist.
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Hinweis: Gib keine personenbezogenen Informationen ein. Deine Antwort wird zur automatischen Auswertung an den Skriptserver und dort an ein KI-System übertragen.
7 Zusammenfassung
Sicherungsblatt zu Aufgabe 5.2
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8 Abschlussquiz
Sicherungsblatt zu Aufgabe 5.2
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Quellen: 2 – Neuron bestimmen (Michael Krauß, Heiko Jochum), 3 – Neuron → Trennlinie und 4 – Trennlinie → Neuron (Heiko Jochum), CC BY-SA 4.0; für dieses Lernmodul bearbeitet und interaktiv umgesetzt.