Aufgabe 1 · Hammerwurf von oben betrachtet
Betrachte die beiden Skizzen. Wähle alle Aussagen aus, die zur Bewegung der Hammerkugel passen.
Kreisbewegungen
Zentripetalkraft
Aufgabe 4
Untersuche, wovon die Zentripetalkraft abhängt, und berechne ihren Betrag.
Entdecken
Wovon hängt die Kraft beim Hammerwurf ab?
Beim Hammerwurf muss der Athlet die Kugel mit großer Kraft auf der Kreisbahn halten. Finde heraus, wovon diese Kraft abhängt.
Aufgabe 2a · Digitaler Hammerwurf mit Knetmasse
Wähle aus, welche Größe du veränderst, und verändere nur diese mit dem Schieberegler. Beobachte den roten Kraftpfeil und den Wert von FZ.
m = 0,10 kg
r = 0,50 m
ω = 4,0 rads
vB = 2,0 ms
FZ = 0,80 N
Vergleich mit dem Ausgangswert 0,80 N: 1,00-mal so groß
Maßstab der Zeichnung
Darstellungsmaßstab: 1 m Radius entspricht 220 SVG-Einheiten, 1 N Kraft entspricht 50 SVG-Einheiten. Der rote Pfeil zeigt die Kraft der Schnur auf die Knetmasse – genauso stark musst du an der Schnur ziehen.
Bereit. Die Knetmasse startet oben und bewegt sich im Uhrzeigersinn.
Aufgabe 2b · Je-desto-Aussagen
Ergänze jede Aussage mit dem Vergleichswort, das zu deinen Beobachtungen in der Simulation passt.
Je die Masse m, desto die Zentripetalkraft FZ.
Je die Winkelgeschwindigkeit ω, desto die Zentripetalkraft FZ.
Je der Radius r bei gleicher Winkelgeschwindigkeit ω, desto die Zentripetalkraft FZ.
Verstehen
Wie genau hängt FZ von m, ω und r ab?
Aus Je-desto-Aussagen werden jetzt genaue Zusammenhänge. Achte beim Radius darauf, welche Größe gleich bleibt.
Aufgabe 3 · Proportionalitäten zuordnen
Ordne jeder Größe die passende Proportionalität zu. Nutze dafür die Simulation aus Aufgabe 2a.
Hilfe 1: Hinweis
Stelle in der Simulation eine Größe auf das Doppelte ein und lies ab, wie oft so groß FZ wird.
Hilfe 2: Denkansatz
Doppelter Wert und doppelte Kraft bedeutet FZ ~ Größe. Doppelter Wert und vierfache Kraft bedeutet FZ ~ Größe². Doppelter Wert und halbe Kraft bedeutet FZ ~ 1Größe.
Hilfe 3: Teillösung
Beispiel: Wird ω von 2,0 rads auf 4,0 rads verdoppelt, steigt FZ von 0,20 N auf 0,80 N – also auf das Vierfache.
Aufgabe 4a · Stolperstelle Radius
Stelle ein, welche Größe gleich bleibt, und verdopple den Radius von 0,50 m auf 1,00 m. Vergleiche jeweils FZ.
r = 0,50 m
ω = 4,0 rads
vB = 2,0 ms
FZ = 0,80 N
Vergleich mit dem Ausgangswert 0,80 N: 1,00-mal so groß
Bereit. Die Knetmasse startet oben und bewegt sich im Uhrzeigersinn.
Aufgabe 4b · Radius richtig einordnen
Ordne beiden Fällen die passende Proportionalität zu.
Die Zentripetalkraft ist proportional zur Masse m und zum Quadrat der Winkelgeschwindigkeit ω. Beim Radius kommt es darauf an, was gleich bleibt: Bei gleichem ω gilt FZ ~ r, bei gleicher Bahngeschwindigkeit vB ist FZ indirekt proportional zu r, also FZ ~ 1r.
Aufgabe 4c · Warum braucht der kleine Kreis mehr Kraft?
Beide Körper haben die gleiche Masse und den gleichen Betrag der Bahngeschwindigkeit vB. Sie legen in derselben Zeit den gleichen Bogen Δx zurück. Wähle alle Aussagen aus, die erklären, warum auf dem kleineren Kreis eine größere Zentripetalkraft nötig ist.
Verstehen
Wie groß ist die Zentripetalkraft?
Damit sich ein Körper gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt, muss sich die Richtung seiner Geschwindigkeit ständig ändern. Die dafür nötige Zentripetalkraft zeigt immer zum Kreismittelpunkt. Leite jetzt Schritt für Schritt eine Formel für ihren Betrag her.
Aufgabe 5 · Ausgangspunkt: das Grundgesetz
Setze aus den Karten die Newton'sche Bewegungsgleichung zusammen, die du aus Wiederholung 2 kennst.
Hilfe 1: Hinweis
Das 2. Newton'sche Gesetz verbindet eine Kraft mit einer Änderung der Geschwindigkeit.
Hilfe 2: Denkansatz
Eine Kraft F, die während der Zeit Δt auf einen Körper der Masse m wirkt, ändert seine Geschwindigkeit um Δv.
Hilfe 3: Teillösung
Auf einer Seite stehen die Kraft und die Zeitspanne, auf der anderen die Masse und die Geschwindigkeitsänderung.
Aufgabe 6 · Von A nach B
Eine Masse m bewegt sich gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius r um den Mittelpunkt M. In der kurzen Zeit Δt läuft sie von A nach B. Beide Geschwindigkeitspfeile haben den Betrag vB.
Aufgabe 6a · Skizze beschriften
Ordne jeder markierten Stelle in Skizze 1 die passende Beschriftung zu.
Hilfe 1: Hinweis
Die Pfeile v1 und v2 zeigen, in welche Richtung sich die Masse bewegt.
Hilfe 2: Denkansatz
Die Masse startet dort, wo v1 eingezeichnet ist. Die Radiuspfeile beginnen im Mittelpunkt.
Hilfe 3: Teillösung
Stelle 3 ist M. Stelle 4 ist das Stück der Kreisbahn, das die Masse wirklich zurücklegt.
Aufgabe 6b · Δv konstruieren
Beschreibe, wie der Pfeil Δv in Skizze 2 aus den Pfeilen v1 und v2 aus Skizze 1 konstruiert wird.
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Hinweis: Gib keine personenbezogenen Informationen ein. Deine Antwort wird zur automatischen Auswertung an den Skriptserver und dort an ein KI-System übertragen.
Hilfe 1: Hinweis
Vergleiche, wo v1 und v2 in Skizze 1 und wo sie in Skizze 2 beginnen.
Hilfe 2: Denkansatz
In Skizze 2 beginnen beide Pfeile im selben Punkt. Achte darauf, wo Δv beginnt und wo es endet.
Hilfe 3: Teillösung
Teillösung: v2 wird parallel verschoben, bis er im selben Punkt wie v1 beginnt. Beschreibe nun noch, wie Δv eingezeichnet wird.
Aufgabe 6c · Bogen oder Strecke?
Begründe knapp, warum man die Bahnstrecke Δx mit der Strecke Δs gleichsetzen darf, wenn Δt sehr klein ist.
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Hinweis: Gib keine personenbezogenen Informationen ein. Deine Antwort wird zur automatischen Auswertung an den Skriptserver und dort an ein KI-System übertragen.
Hilfe 1: Hinweis
In Skizze 1 ist der Winkel α zur Verdeutlichung sehr groß gezeichnet.
Hilfe 2: Denkansatz
Stell dir vor, B rückt immer näher an A heran. Wie unterscheiden sich dann der orange Bogen und die Strecke Δs?
Hilfe 3: Teillösung
Teillösung: Je kleiner Δt ist, desto kleiner ist der Winkel α und desto weniger ist der Bogen gekrümmt.
Aufgabe 7 · Ein Ausdruck für Δv
Das Dreieck MAB aus Skizze 1 und das Dreieck aus Skizze 2 sind ähnlich. Die Begründung findest du in „Für Schnelle“ am Ende dieses Reiters.
Aufgabe 7a · Seitenverhältnis
Wähle das Seitenverhältnis aus, das zu ΔvΔs passt.
Aufgabe 7b · Formel für Δv
Ersetze Δs durch Δx = vB · Δt und setze die Formel für Δv zusammen.
Hilfe 1: Hinweis
Entsprechende Seiten: Δv gehört zu Δs, vB gehört zu r.
Hilfe 2: Denkansatz
Multipliziere ΔvΔs = vBr mit Δs. Du erhältst Δv = vB · Δsr.
Hilfe 3: Teillösung
Setze Δs = vB · Δt ein: Δv = vB · vB · Δtr. Fasse vB · vB zusammen.
Aufgabe 8 · „A little bit of algebra …“
Aufgabe 8a · Formel mit vB
Im Grundgesetz ist F hier die Zentripetalkraft FZ. Setze Δv aus Aufgabe 7 in FZ · Δt = m · Δv ein, stelle nach FZ um und setze die Formel zusammen.
Bewegt sich ein Körper der Masse m mit der Bahngeschwindigkeit vB auf einer Kreisbahn mit dem Radius r, dann hat die nötige Zentripetalkraft den Betrag FZ = m · vB²r.
Hilfe 1: Hinweis
Ersetze in FZ · Δt = m · Δv das Δv durch den Ausdruck aus Aufgabe 7.
Hilfe 2: Denkansatz
Du erhältst FZ · Δt = m · vB² · Δtr. Was passiert, wenn du beide Seiten durch Δt teilst?
Hilfe 3: Teillösung
Δt fällt weg. Im Zähler stehen m und vB², im Nenner steht r.
Aufgabe 8b · Finale
Aus dem Lernmodul Aufgabe 3 (Winkelgeschwindigkeit) kennst du vB = ω · r. Ersetze vB und setze die zweite Formel zusammen.
Merke: Für den Betrag der Zentripetalkraft gilt FZ = m · vB²r = m · ω² · r.
Notiere beide Formeln im Merkkasten deines Hefts.
Hilfe 1: Hinweis
Setze (ω · r) an die Stelle von vB ein.
Hilfe 2: Denkansatz
FZ = m · (ω · r)²r = m · ω² · r²r. Was kannst du kürzen?
Hilfe 3: Teillösung
Ein r kürzt sich weg. Übrig bleiben m, ω² und r als Produkt.
Für Schnelle (optional) · Warum sind die Dreiecke ähnlich?
Begründe mit einem Ähnlichkeitssatz, warum das Dreieck MAB aus Skizze 1 und das Dreieck aus Skizze 2 ähnlich sind.
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Hinweis: Gib keine personenbezogenen Informationen ein. Deine Antwort wird zur automatischen Auswertung an den Skriptserver und dort an ein KI-System übertragen.
Hilfe 1: Hinweis
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel übereinstimmen (WW) oder wenn zwei Seitenverhältnisse und der eingeschlossene Winkel übereinstimmen (SWS).
Hilfe 2: Denkansatz
Beide Dreiecke haben zwei gleich lange Seiten. Die Geschwindigkeitspfeile stehen senkrecht auf den Radien: Dreht sich der Radius um α, dreht sich auch der Geschwindigkeitspfeil um α.
Hilfe 3: Teillösung
Teillösung: Beide Dreiecke sind gleichschenklig und haben zwischen den Schenkeln denselben Winkel α. Nenne jetzt noch den passenden Ähnlichkeitssatz.
Anwenden
Zentripetalkraft im Alltag
Sichere, wohin die Zentripetalkraft zeigt, und berechne ihren Betrag in Alltagssituationen.
Aufgabe 9 · Merksatz zur Zentripetalkraft
Ergänze die Lücke im Merksatz ohne Wortvorgabe.
Damit sich ein Körper mit gleichbleibender Bahngeschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt, muss auf ihn eine Kraft wirken, die zum hin gerichtet ist. Diese Kraft nennt man Zentripetalkraft FZ.
Notiere den Merksatz in dein Heft.
Aufgabe 10 · Typische Denkfehler
Wähle alle Aussagen aus, die fachlich richtig sind.
Aufgabe 11 · Hammerwurf berechnen
Die Kugel eines Wurfhammers (m = 7,26 kg) bewegt sich kurz vor dem Abwurf mit vB = 25 ms auf einer Kreisbahn mit r = 1,8 m. Berechne die nötige Zentripetalkraft und gib das Ergebnis mit zwei gültigen Ziffern an.
Hilfe 1: Hinweis
Welche der beiden Formeln für FZ passt, wenn vB gegeben ist?
Hilfe 2: Denkansatz
Nutze FZ = m · vB²r. Quadriere zuerst die Geschwindigkeit.
Hilfe 3: Teillösung
(25 ms)² = 625 m²s². Rechne 7,26 kg · 625 m²s² und teile das Ergebnis durch 1,8 m.
Aufgabe 12 · Auto in der Kurve
Ein Auto (m = 1200 kg) fährt mit 54 kmh durch eine Kurve mit dem Radius r = 40 m. Berechne die Zentripetalkraft, die die Haftreibung zwischen Reifen und Straße aufbringen muss, und gib das Ergebnis mit zwei gültigen Ziffern an.
Hilfe 1: Hinweis
Achte auf die Einheit der Geschwindigkeit.
Hilfe 2: Denkansatz
54 kmh = 15 ms. Nutze dann FZ = m · vB²r.
Hilfe 3: Teillösung
(15 ms)² = 225 m²s². Rechne 1200 kg · 225 m²s² und teile das Ergebnis durch 40 m.
Aufgabe 13 · Wie schnell darf das Auto sein?
Die Haftreibung kann bei diesem Auto (m = 1200 kg) in der Kurve mit r = 40 m höchstens 9,6 kN als Zentripetalkraft liefern. Stelle FZ = m · vB²r nach vB um und berechne die größte mögliche Geschwindigkeit mit zwei gültigen Ziffern.
Hilfe 1: Hinweis
Multipliziere beide Seiten der Formel mit r und teile durch m.
Hilfe 2: Denkansatz
Du erhältst vB² = FZ · rm. Denke an die Einheit: 9,6 kN = 9 600 N.
Hilfe 3: Teillösung
vB² = 9 600 N · 40 m1200 kg = 320 m²s². Jetzt fehlt nur noch die Wurzel.
Sichern
Merksätze zur Zentripetalkraft
Fasse die wichtigsten Ergebnisse in Merksätzen zusammen.
Aufgabe 14 · Merksätze ergänzen
Ergänze die Merksätze. Ziehe jede Karte in eine Lücke oder tippe erst die Karte und dann die Lücke an. Drei Karten bleiben übrig.
Notiere die Merksätze in dein Heft, wenn die Lücken korrekt ausgefüllt sind.
Übertragen
Abschlussquiz
Prüfe dein Wissen. Bei Fragen mit dem Hinweis „mehrere Antworten“ sind mindestens zwei Antworten richtig.