Aufgabe 7 – Übungen zur Zentripetalkraft

Anwenden

Hammerwurf

Der Hammer besteht aus einer Stahlkugel an einem 1,22 m langen Stahlseil. Der Werfer will ihn mit 25,0 ms abwerfen; seine Armlänge beträgt 86,0 cm. Er vollführt drei Drehungen und wird dabei immer schneller.

Hammerwerferin im Ring, die einen Hammer an einem gespannten Seil im Kreis schwingt.

Aufgabe 1a · Frequenz kurz vor dem Abwurf

Bestimme die Frequenz der Drehung kurz vor dem Abwurf. Gib das Ergebnis mit drei gültigen Ziffern an.

Frequenz f

Hilfe 1: Ansatz

Gegeben sind v_B = 25,0 ms, l_Seil = 1,22 m und l_Arm = 86,0 cm. Der Radius der Kreisbahn reicht von der Drehachse des Werfers bis zur Kugel. Nutze v_B = ω · r mit ω = 2πT = 2π · f.

Hilfe 2: Rechnung ordnen

Ordne die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe jede Karte in ein nummeriertes Feld oder tippe erst die Karte und dann das Feld an. Eine Karte bleibt übrig.

Aufgabe 1b · Haltekraft kurz vor dem Abwurf

Die Kugel hat die Masse 7,16 kg. Berechne den Betrag der Kraft, mit der die Kugel kurz vor dem Abwurf gehalten werden muss, und gib das Ergebnis mit drei gültigen Ziffern an.

Kraft

Hilfe 1: Ansatz

Die Haltekraft zeigt zur Drehachse und wirkt als Zentripetalkraft: F_Z = m · v_B²r. Gegeben sind m = 7,16 kg und v_B = 25,0 ms. Den Radius r = 2,08 m kennst du aus Aufgabe 1a.

Hilfe 2: Rechnung ordnen

Ordne die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe jede Karte in ein nummeriertes Feld oder tippe erst die Karte und dann das Feld an. Eine Karte bleibt übrig.

Aufgabe 1c · Wo muss der Hammer losgelassen werden?

Seitlich und hinter dem Werfer schützt ein Netz die Zuschauer. Skizziere die Situation von oben und zeichne geeignete Positionen zum Loslassen ein.

Bearbeite die Aufgabe auf einem Blatt oder auf dem Tablet.

Musterlösung zum Vergleich anzeigen

Beim Loslassen fehlt die Kraft zur Drehachse. Der Hammer bewegt sich deshalb geradlinig weiter, und zwar tangential zur Kreisbahn in Richtung seiner momentanen Geschwindigkeit. Geeignet ist die Stelle der Kreisbahn, an der die Tangente durch die Öffnung des Netzes nach vorn ins freie Feld zeigt.

Blick von oben, Skizze nicht maßstäblich. Rot: geeignete Abwurfposition, grün: Flugrichtung beim Loslassen.

Anwenden

Kurve einer Rennbahn

Die Kurve einer Rennbahn soll bei einem Kurvenradius von 50 m für die Geschwindigkeit 36 kmh gebaut werden.

Aufgabe 2 · Optimale Neigung der Bahn

Optimal ist die Neigung, bei der ein Fahrzeug ganz ohne seitliche Reibung durch die Kurve fährt. Dann wirken nur die Gewichtskraft F_G und die Normalkraft F_N der Bahn. Ihre Resultierende ist die Zentripetalkraft F_Z.

Querschnitt durch die geneigte Kurve. Skizze nicht maßstäblich.

Kräftedreieck: F_N und F_G aneinandergehängt ergeben F_Z. F_N steht senkrecht auf der Bahn, deshalb liegt zwischen F_N und der Senkrechten derselbe Winkel α wie zwischen Bahn und Waagerechter.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

sin α = GegenkatheteHypotenuse

cos α = AnkatheteHypotenuse

Berechne die optimale Neigung α der Bahn. Rechne mit g = 9,81 ms² und gib α mit zwei gültigen Ziffern an.

Neigungswinkel α

Hilfe 1: Zwei Teilgleichungen

Lies die beiden Katheten im Kräftedreieck ab:

senkrecht: F_N · cos α = F_G = m · g

waagerecht: F_N · sin α = F_Z = m · v_B²r

Hilfe 2: Ansatz

Teile die beiden Gleichungen Schritt für Schritt durcheinander:

Teile die waagerechte durch die senkrechte Gleichung: F_N · sin αF_N · cos α = m · v_B²r · m · g
Kürze F_N links und m rechts: sin αcos α = v_B²r · g
Ersetze sin α/cos α durch tan α: tan α = v_B²r · g
Löse nach α auf: α = tan⁻¹(v_B²r · g). Rechne v_B vorher in ms um und stelle den Taschenrechner auf Grad (DEG).

Hilfe 3: Rechnung ordnen

Ordne die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe jede Karte in ein nummeriertes Feld oder tippe erst die Karte und dann das Feld an. Eine Karte bleibt übrig.

Anwenden

Bahngeschwindigkeit im Kettenkarussell

Ein Kettenkarussell dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Die Kette ist bis zum Körperschwerpunkt l = 15 m lang und bildet mit der Drehachse den Winkel α = 56°. Der Mann auf dem Karussell hat die Masse 75 kg.

Aufgabe 3a · Kräfte am Mann einzeichnen

Zeichne am markierten Körperschwerpunkt die äußeren Kräfte und ihre Resultierende ein. Wähle dazu jeweils zuerst oben die Kraft aus.

Der schwarze Punkt markiert den Körperschwerpunkt. Bis dorthin reicht die Kette, deshalb greift auch die Seilkraft dort an. Skizze nicht maßstäblich.

Hilfe 1: Hinweis

Die Gewichtskraft zeigt immer senkrecht nach unten. Eine Kette kann nur entlang ihrer eigenen Richtung ziehen.

Hilfe 2: Denkansatz

Der Mann bewegt sich auf einer waagerechten Kreisbahn. Die Resultierende aus F_S und F_G muss deshalb waagerecht zum Mittelpunkt der Kreisbahn zeigen.

Hilfe 3: Teillösung

F_G zeigt senkrecht nach unten, F_S entlang der Kette zum Aufhängepunkt. Wähle F_S so lang, dass ihr senkrechter Anteil genau so groß ist wie F_G. Die Resultierende ist die Diagonale des Kräfteparallelogramms aus F_S und F_G.

Aufgabe 3b · Bahngeschwindigkeit berechnen

Im Kräftedreieck sind die Kräfte aus Aufgabe 3a aneinandergehängt.

Die Skizze zu Aufgabe 3b erscheint, sobald du deine Kraftpfeile in Aufgabe 3a geprüft hast.

Berechne mithilfe des Kräftedreiecks die Bahngeschwindigkeit des Mannes. Rechne mit g = 9,81 ms² und gib das Ergebnis mit zwei gültigen Ziffern an.

Bahngeschwindigkeit v_B

Hilfe 1: Zwei Teilgleichungen

Lies die beiden Katheten im Kräftedreieck ab:

senkrecht: F_S · cos α = F_G = m · g

waagerecht: F_S · sin α = F_Z = m · v_B²r

Den Radius r liest du im Dreieck aus Kette, Drehachse und r ab: r liegt gegenüber von α, die Kette l ist die Hypotenuse.

Hilfe 2: Ansatz

Teile die beiden Gleichungen Schritt für Schritt durcheinander:

Teile die waagerechte durch die senkrechte Gleichung: F_S · sin αF_S · cos α = m · v_B²r · m · g
Kürze F_S links und m rechts: sin αcos α = v_B²r · g
Ersetze sin α/cos α durch tan α: tan α = v_B²r · g
Löse nach v_B auf: v_B² = r · g · tan α, also v_B = r · g · tan α. Stelle den Taschenrechner auf Grad (DEG).

Hilfe 3: Rechnung ordnen

Ordne die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe jede Karte in ein nummeriertes Feld oder tippe erst die Karte und dann das Feld an. Eine Karte bleibt übrig.

Sichern und übertragen

Abschlussquiz und Auswertung

Prüfe dein Wissen zur Zentripetalkraft. Darunter findest du die Ergebnisse aller Aufgaben im Überblick.

Aufgabe 4 · Wissen überprüfen

Wähle bei jeder Frage alle richtigen Aussagen aus und prüfe deine Auswahl. Bei Fragen mit dem Hinweis „mehrere Antworten“ sind mindestens zwei Aussagen richtig.

Die Ergebnisübersicht erscheint, sobald du Aufgabe 3b geprüft hast.

Kompakte Sicherung

Die Zentripetalkraft ist keine zusätzliche Kraft, sondern die Resultierende der realen Kräfte. Sie zeigt zum Mittelpunkt der Kreisbahn.

Liegt eine Kraft schräg, zerlegst du sie im rechtwinkligen Kräftedreieck: Der Anteil am Winkel α (Ankathete) gehört zum Kosinus, der Anteil gegenüber von α (Gegenkathete) zum Sinus.

Teilt man die beiden Teilgleichungen durcheinander, kürzen sich die schräge Kraft und die Masse: tan α = v_B²r · g.

Ergebnisübersicht

Aufgabe	Auftrag	Ergebnis
1a	Frequenz kurz vor dem Abwurf	r = 1,22 m + 0,860 m = 2,08 m; f = v_B2π · r ≈ 1,91 Hz
1b	Haltekraft kurz vor dem Abwurf	F_Z = m · v_B²r ≈ 2 150 N = 2,15 kN
1c	Positionen zum Loslassen	dort, wo die Tangente an die Kreisbahn durch die Öffnung des Netzes zeigt; der Hammer fliegt tangential weiter
2	Optimale Neigung der Rennbahn	F_N · cos α = m · g und F_N · sin α = m · v_B²r ergeben tan α = v_B²r · g ≈ 0,204; α ≈ 12°
3a	Kräfte am Mann	F_G senkrecht nach unten, F_S entlang der Kette zum Aufhängepunkt; ihre Resultierende F_Z zeigt waagerecht zur Drehachse
3b	Bahngeschwindigkeit	r = l · sin α ≈ 12,4 m; v_B = r · g · tan α ≈ 13 ms ≈ 48 kmh

Sicherungsblatt zu Aufgabe 7 – Übungen zur Zentripetalkraft

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